روشهای تکراری جدید مبتنی بر شکاف هرمیتی و هرمیتی اریب برای حل معادلات ماتریسی خطی

‏در‎ این رساله دو روش مبتنی بر شکاف هرمیتی و هرمیتی اریب برای حل معادلات ماتریسی خطی به شکل ‎$‎‎‎axb=c‎$‎‏ و ‎$‎‎‎ax+xb=c‎$‎‏ ارائه می شوند. در هر یک از این روشها با به کار بردن تکرارهای تو در تو‏، ابتدا در هر تکرار داخلی یک معادله ماتریسی را حل کرده و جواب این معادله داخلی را به عنوان ‎‏تقریبی از جواب معادله اصلی در نظر گرفته و تکرارهای بیرونی را تا رسیدن به جواب معادله ادامه می دهیم. ‎روش اول که روش گرادیان مزدوج با شکاف تو در تو‏ ‎(nscg) ‎ نامیده می شود‎، برای معادلات ماتریسی مناسب است که ماتریسهای ضرایب آنها نیمه معین مثبت و حداقل یکی از این ماتریسهای ضرایب معین مثبت باشند. در این روش قسمتهای هرمیتی ماتریسهای ضرایب مسأله اصلی به عنوان ماتریسهای ضرایب معادله ماتریسی داخلی به کار می روند و در هر تکرار بیرونی‏، معادله داخلی با روش گرادیان مزدوج ‎(cg)‎ حل می شود.‎ در روش‎ دوم که مانده نرمال گرادیان مزدوج با شکاف تو در تو ‏‎(ns-cgnr)‎ می باشد‏، از قسمتهای هرمیتی اریب ماتریسهای ضرایب مسأله اصلی به عنوان ماتریسهای ضرایب معادله ماتریسی داخلی استفاده می شود و در هر تکرار بیرونی‏، معادله داخلی را با روش مانده نرمال گرادیان مزدوج ‎(cgnr)‎‏ حل می کنیم.‎‎ شرایط همگرایی برای هر دو روش به صورت عمیق بررسی می شوند و کارایی این روشها در مقایسه با برخی روشهای تکراری متداول در مثالهای عددی متعددی نشان داده شده است. همچنین، با استفاده از مثالهای عددی‏، نشان داده ایم که به کار بردن شکاف مربوط به روشهای جدید ارائه شده به عنوان پیش شرط شکافی برای روشهای زیرفضای کریلف‏، می تواند باعث بهبود کارایی روشهای زیرفضای کریلف شود.